锁相检测在力传感器上的应用原理

简介

在实际采集过程中，往往会遇到传感器输出信号较为微弱，并且传感器输出信号受噪声影响较大，利用普通放大滤波电路并不能将有效的待测信号直接提取出来，同时也会引入其他噪声信号对实际测量结果造成严重的偏差。针对这一现象，锁相放大器的优势变的尤为突出。锁相可以将待测信号中目标频率信号分离出来，并抑制噪声信号，减少干扰。

锁相检测的核心在于，利用一个已知的、纯净的参考信号，去检测一个未知的、通常淹没在强噪声中的目标信号，其前提是目标信号与参考信号在频率上相关（通常是同频或倍频）。锁相检测的实现可以分为相关性运算（混频），低通滤波以及直接测量或反馈控制三个步骤。

互相关函数——基本原理

微弱信号检测的基础在于被测信号在时间上具有前后相关性。所谓“相关”，是指两个函数之间存在一定的关联关系，根据概念可分为自相关与互相关。在微弱信号检测中，通常采用抗干扰能力更强的互相关检测方法。相关函数则是衡量信号之间线性相关程度的数学工具。

​ 设信号 f₁(t) 为被检信号 V_s(t) 和噪声 V_n(t) 的叠加，而 f₂(t) 为与被检信号同步的参考信号 V_r(t) ，二者的互相关函数为： 由于噪声 V_n(τ) 和参考信号 V_r(τ) 不相关, 故 R_nr(τ) = 0。上述分析表明，利用参考信号与有用信号的相关性，以及参考信号与噪声之间的独立性，可以通过互相关运算有效抑制噪声的影响。具体而言，将混有噪声的信号与参考信号进行相乘和积分处理，即可从任意强噪声背景中提取出深埋的微弱信号。基于该原理设计的相干检测器构成了锁相放大器的核心部分。

锁相放大器

如前文所述，锁相检测的第三步可分为直接测量或反馈控制两种方式。采用直接测量方式实现的锁相技术称为锁相放大器。其核心为相敏检波器（Phase Sensitive Detector, PSD）结合低通滤波器（Low Pass Filter, LPF），用于提取电信号的振荡幅值与相位信息。

锁相放大器原理图

相敏检波器主要用于提取信号中特定频率成分的幅值与相位。其原理是将输入信号与参考信号相乘，再通过低通滤波器滤除高频成分，从而得到所需信息。实际应用中，输入信号与参考信号通常具有相同的频率。

​ 设输入信号 S_in(t) 为： S_in(t) = A_insin (ω_int + ϕ) + B_in(t) 式中，A_in 、ω_in 、ϕ 分别表示输入信号的幅值、角频率和相位；B_in(t) 代表高斯白噪声。

参考信号 S_ref(t) 为： S_ref(t) = A_refsin (ω_reft) 式中，A_ref、ω_ref 分别表示参考信号的幅度、角频率；参考信号的相位设为 0，且不含噪声；假设参考信号与输入信号在角频率上相等，即 ω_ref = ω_in = ω₀。

​ 将两路信号输入相敏检波器，输出信号 S_PSD(t) 可表示为（利用三角函数的乘积公式：）： 该输出项包括三项内容：第一项是输入信号与参考信号的差频分量，近似直流信号；第二项是输入信号与参考信号的和频分量 ；第三项是 A_refB_in(t)sin (ω₀t) 为为高斯噪声引起的信号漂移。

将 S_PSD(t) 通过一个窄带低通滤波器，可滤除和频分量与噪声分量，仅保留近似直流的差频信号，得到信噪比较高的输出信号（同相分量，I 通道）：
​ 实际应用中，A_ref 为固定常数，取决于参考信号的强度；而 A_in 的值会随噪声影响而产生变化，导致 S_out(t) 也随之波动，难以保持 ϕ 恒定。因此，发展出了正交锁相放大器，也称为双通道正交 PSD 检测技术。该方法使用相位相差 90° 的两路参考信号，构成两个正交检测通道，可有效避免单路检测中的相位干扰，提高测量的准确性与可靠性。

​ 两路正交参考信号进行相敏检波，再经低通滤波后，将其合并为复数形式，即为系统的总输出得到： 进一步对这两路输出进行幅值与相位分析，可得：

ϕ = arctan (S_Q/S_I)

由此可见，正交锁相放大器仅需对低通滤波器输出的两路直流信号进行运算，即可同时解析出待测信号的幅值与相位，无需预先知道其与参考信号之间的相位差。该方法能有效抑制噪声与相位波动的影响，显著提高信噪比，从而保证检测过程的高灵敏度与可靠性。

锁相环（Phase Locked Loop，PLL）

锁相环（PLL）是一种利用相位负反馈控制技术的电路系统，能够使输出信号的相位和频率与参考信号保持同步。其核心原理是通过比较输入参考信号与压控振荡器（VCO）输出信号之间的相位差，生成误差电压，经滤波后控制VCO的频率，实现两者的相位锁定。

闭环的目的：实现输出信号精确跟踪输入信号的变化。当输入信号保持稳定时，锁相环能够有效抑制内部VCO频率漂移和外部干扰引起的输出变化，维持系统稳定。

电路构成

锁相环路的组成原理

该系统由三个基本模块组成：

• 鉴相器（Phase Detector, PD）：检测输入参考信号与VCO输出信号之间的相位差，并将其转换为误差电压信号。可采用模拟乘法器实现，其输出信号 v_d 表示为：

v_d = K_df(ϕ_r − ϕ₁)

其中，f 为参考信号与VCO输出信号相位差的函数，K_d 为鉴相器的转换增益，单位为伏特/弧度（V/rad）。

• 环路滤波器（Loop Filter, LF）：通常为低通滤波器，用于滤除鉴相器输出中的高频噪声和无用谐波分量，提高系统稳定性。其输出电压记为 v_f。

• 压控振荡器（Voltage Controlled Oscillator, VCO）：输出信号的频率受环路滤波器输出电压 v_f 的控制，其角频率控制特性为：

ω₁ = ω₀ + K₀v_f

其中，ω₀ 为VCO的中心角频率（对应 v_f = 0 时），K₀ 为VCO的转换增益，单位为弧度/秒/伏（rad/s/V）或赫兹/伏（Hz/V）。

工作原理

• 鉴相器（Phase Discriminator，PD）

​ 假设锁相环的输入信号为 v_i(t) = V_imsin [ω_rt + ϕ_i(t)] ；VCO 的输出信号为 v_o(t) = V_omcos [ω_rt + ϕ_o(t)] ，其中 ω_r 为VCO的自由振荡角频率。

​ 鉴相器的作用是产生一个平均输出电压 v_d，使其值正比于两输入信号的相位差，即 v_d = A_dsin ϕ_e(t) ，A_d 为鉴相灵敏度（单位：V/rad）。

输入与输出信号的瞬时角频率分别为： 其中，相位误差：ϕ_e(t) = ϕ_i(t) − ϕ_o(t) = ∫₀^t[ω_i(t) − ω_o(t)]dt ；瞬时角频差： 。

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示例：模拟乘法器鉴相

采用“模拟乘法器 + 低通滤波器”实现鉴相，输出为： 经低通滤波后，得到 v_d = A_dsin ϕ_e(t) 。

鉴相器的特性图

特点：（1）输出为正弦波，频率为 Δω_e = ω_i(t) − ω_o(t) ；（2）鉴相的特性是非线性的，当 ϕ_e ≤ π/6 时，正弦鉴相可以近似为线性；（3）鉴相的范围是 −π/2 ∼ π/2 ；（4）鉴相的灵敏度在数值上等于其最大输出电压 。

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• 环路低通滤波器（Loop Filter，LF）

​ 环路滤波器的主要作用是滤除鉴相器输出中的高频成分和噪声，保留误差电压的低频或直流分量，以控制VCO。通过使用不同的电路，可选择不同的滤波特性 A_F(p)，从而对环路的动态性能和稳定性产生影响。常见的环路滤波器有如下的形式：简单RC滤波器、无源比例积分滤波器、有源比例积分滤波器。

​ 理想低通滤波器：对于高于截止频率的信号截止，而对于低于截止频率的信号无失真传输。其传递函数为： H(jω) = |H(jω)|e^jφ(ω) 其中 j 是虚数单位，其幅频与相频特性为： |H(jω)| = u(ω + ω_c) − u(ω − ω_c)

φ(ω) = [u(ω + ω_c) − u(ω − ω_c)] • (−ωt₀)

冲激响应即是传递函数的傅里叶逆变换，为：h(t) = ω_c/π ⋅ Sa[ω_c(t − t₀)]，其中 Sa(x) = sin x/x 。

• 压控振荡器（Voltage Controlled Oscillator）

​ 压控振荡器的输出频率受控制电压 v_c 的控制而变化，一般情况下认为 ω₀ ∼ v_c 特性是线性的，有： ω₀(t) = ω_r + A_ov_c(t) 其中，A_o 为压控灵敏度，其单位是 (rad/s)/V 。VCO输出信号的相位为频率的积分： φ₀(t) = A_o∫₀^tv_c(t)dt 若用微分算子表示 ，可得：pφ₀ = A_ov_c(t) 。

环路的基本公式

PLL的传递函数

锁相环的相位控制关系可由以下基本方程描述： 其中，A_F(p) 为环路滤波器的传递函数。

定义以下角频率关系：

• 瞬时角频差：Δω_e(t) = ω_i − ω_o = pϕ_e(t)；
• 控制角频差：Δω_o(t) = ω_o − ω_r = U_dA_oA_F(p)sin ϕ_e(t)；
• 固有角频差：Δω_i(t) = ω_i − ω_r = pϕ_i(t)。

三者满足：Δω_e(t) = Δω_i(t) − Δω_o(t) 。该式表明，锁相环通过自动调节控制频差 Δω_o(t)，使其逐渐逼近固有频差 Δω_i(t)，从而使瞬时频差 Δω_e(t) 趋于零，实现相位锁定。

对环路基本方程的讨论：

1. 描述了输入信号与输出信号间的相位（或角频率）的关系，但环路中间是以信号幅度形式传递的。
2. 是非线性微分方程，其非线性主要来自鉴相器 ，阶数是环路滤波器的阶数加 1。

结合锁相检测的力学传感器

以锁相环设计力传感器可以实现噪声下的信号测量。考虑在外力 f_ex(t) 作用下, 质量为 m 的机械振子的运动方程为： 其中 x(𝑡) 是位置随时间的函数，γ = ω₀/Q 是阻尼系数， 是固有频率，𝑓_ex(𝑡)​ 是外力函数。运动方程的解为： x(t) ∝ X(t)(e^iω₀t + ⋅ ⋅ ⋅), 其具体形式受外力决定。X(t) 是振动幅度，随时间衰减 X²(t) = X²(0)e^−γt，X(0) 为振子的初始振幅。

将时域的运动方程进行傅立叶变化，可以得到振子运动方程在频域的表达式： 其中，f̃_ex(ω) 是 f_ex(t) 的傅立叶变换。解出 x̃(ω) 对 f̃_ex(ω) 的响应关系： 上式就是位移对外力的响应，其中 就是机械振子的机械磁化率，记作 χ_m(ω)，即 机械磁化率描述了机械振子位移对施加于机械振子上的外力的响应能力。

傅里叶变换推导（点击展开）

若我们在时间 t 内测得机械振子的时域位移为 x(t)，通过傅里叶变换可获得其频域位移 x̃(ω)，同理可以计算出 ẋ(t)， 的傅里叶变换，然后将其代入运动方程就可以得到运动方程在频域的表达方式。

• x(t) 的傅立叶变换和傅立叶逆变换：

x̃(ω) = ∫₀^te^−iωtx(t)dt

• ẋ(t) 的傅立叶变换：

• 的傅立叶变换：

在共振条件下，即当 ω ≈ ω₀ 时，系统的响应会达到最大。当阻尼较小时，幅值响应 |X| 在共振附近会急剧增大，因此我们可以定义共振下的机械磁化率的幅值为： 振子响应 x̃(ω) 与驱动力 f̃_ex(ω) 之间的相位差为： 其中，约等于公式皆处于近共振条件。锁相环通过鉴相器(本质原理是锁相放大器)测量振子响应与驱动力之间的相位差，从而跟踪锁定振子的共振频率，令 θ = ϕ − π/2 ，则在近共振条件下： 则 dθ/dω|_ω = ω0 = 2Q/ω₀ ，通过上式可以得知相位噪声与频率误差之间存在如下的关系： 进一步考虑相位噪声 Δθ ，若仅考虑热噪声，单带热噪声的力学功率谱（热朗之万力PSD）为： S̄_ff^th(ω) = 2S_ff^th(ω) = 4mγk_BT_en 根据前面推导的各个 PSD 之间的转化关系给出热朗之万力加速度 PSD 与 位移 PSD：

S̄_xx^th(ω) = |χ_m(ω)|²⁴γk_BT_en/m

热噪声功率谱推导（点击展开）

考虑外力只有热朗之万力 f_th(t) 的情况，热朗之万力是随机力，它具有随机力的两条性质：一是相对于时间平均值为 0，二是白噪声。 ⟨f_th(t)⟩ = 0;  ⟨f_th(t)f_th(t^′)⟩ = 2mγk_BT_enδ(t − t^′) 其中 T_en 是环境温度。热朗之万力的力 PSD 根据下式计算： 其中 f̃_th(ω) 是 f_th(t) 的傅里叶变换。

热噪声位移涨落与积分推导（点击展开）

在不考虑测量时间时，可以算出热噪声的位移涨落满足： 若已知测量时间 T_mea ，则热噪声位移涨落为： 上式的积分运算需要用到的积分结果：

积分结果的推导【留数定理】

令 f(ω) = [(ω₀² − ω²)² + ω²γ²]⁻¹ ，函数的四个奇点是方程 (ω₀² − ω²) + ω²γ² = 0 的四个根，有： 当 γ ≥ 2ω₀ 时，得出： 四个一阶奇点分别为： 选择上半复平面或下半复平面作为积分区间，则有： 其中， Resf(ω₀) = lim_{ω → ω0}(ω − ω₀)f(ω)。最终可得出： 当 γ ≤ 2ω₀ ，结果一致，得出结论：无论噪声振子处于欠阻尼还是过阻尼区域，都有上述结果。

假设鉴相器施加振幅为 F_L ，频率为 ω 的驱动信号时，锁相的 I、Q 的两路振幅为（热噪声的相位紊乱，对两者的平均值并无贡献）：（两路相互正交的信号，其中一路为I路（In-phase，同相位），另一路为Q路（Quadrature，正交相位）） 其中，I、Q 的涨落为： ΔI = ΔQ = ⟨x²⟩ 注意：相位与 I、Q 的关系为： 因此，热噪声对频率的涨落为： 或者不考虑测量时间的频率涨落： Δω = (k_BT_en/m)(ω₀/2Q²)F_L⁻¹ 这表明：随着鉴相器施加的振幅 F_L 的增大，热噪声造成的频率涨落将越小。